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证明质数有无穷多个 发现数学之美_质数的孤独
发布日期:2021-01-13

数学文化巡礼


质数只能被1和自己整除,它在所有数字中是最迷惑人心,也是最“孤独的”。
它的同伴在哪里?而它的同伴除了同样是“孤独的”之外,和它之间没有任何共同之处。
质数,令人如此着迷。它那独特的性质和无穷的美丽,展现出魔幻般的奇异现象,并演绎出许多貌似简单却又至难探究的猜想,千百年来吸引着无数数学英才不懈探索和苦苦追寻。
古希腊数学家欧几里得、“数学英雄”欧拉、“业余数学家之王”费马、“数学王子”高斯……都曾痴迷于质数的无穷魅力。
费马猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想、孪生质数猜想等印证着人们探究质数神秘表象背后潜藏的奥秘的坚持和寻找通往未知道路的努力。
质数神出鬼没,分布得极不规则,而且无穷无尽,怎样从自然数中把质数找出来?
公元前3世纪,古希腊数学家兼哲学家埃拉托色尼提出了一种筛选法,是针对自然数列中的自然数而实施的,用于求一定范围内的质数。
步骤如下:
1)先把1删除;
2)读取数列中当前最小的数2,再把2的倍数删除;
3)读取数列中当前最小的数3,再把3的倍数删除;
4)依次进行下去,直到把所求范围内的数均读取完。
这种造质数表的方法被称为“埃拉托色尼筛选法”
 

数学智慧讲堂

例1
证明:质数有无穷多个。
分析与解
古希腊著名数学家欧几里得(公元前330年—公元前275年)在其不朽名著《几何原本》中汇总了几何学及数论,并证明了“质数有无穷多个”。
欧几里得认为:假设质数是有限的,只有P1,P2,…,Pn这n个,那么,其余所有自然数都是这n个质数的乘积,都为合数,即其他的所有自然数都能被P1或P2…或Pn整除。
但P1·P2·P3·…·Pn+1无法被P1或P2……或Pn整除,与上述假设矛盾。故原假设不成立,从而证明了质数有无穷多个。
 
例2
梅森质数
1644年,法国科学家马林·梅森在其著作中断言:当n≤257时,只有n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257时,2n-1才是质数。2016年1月7日,美国人柯蒂斯·库珀用“互联网梅森质数大搜素”的分布式计算方法发现了第49个梅森质数:274207281-1,这是已知的最大质数,有22338618位。
1903年,在纽约一次学术会议上,大家要求著名数学家科尔教授作报告。科尔走上讲台后,在黑板上计算了267-1,然后又计算了193707721×761838257287,两式计算结果完全相同。科尔一个字也没说,微笑着回到座位上。顿时,全场响起了热烈的掌声。
科尔虽然一字未说,但他将267-1表示成了两个大于1的自然数之积,清楚地证明了267-1不是质数这一问题,澄清了200多年来人们认为267-1是质数这个错误的结论。
也许,这是有史以来简短的一次学术报告了。

马林·梅森(1588—1648),法国天主教会修道士,在哲学、数学等领域造诣颇深,曾与费马、伽利略、笛卡尔等人频繁通信交流,交往广泛的梅森成为欧洲科学家之间的桥梁和“信息交换站”。

质数为何与众不同?为什么要研究质数?

寻找最大质数,犹如物理学家寻找更小的基本粒子,天文学家不断追寻不为人知的星体。这种单纯为满足求知欲的好奇心,正是人类突破知识领域的动力。
今天,人们已认识到:互联网交易的安全性是建立在“分解出大整数的约数(质数)是极其困难的问题”这一基础上的。

质数并不孤独。

2013年4月17日,张益唐在《数学年刊》上投稿证明了“存在无数多个质数对(p,q),其中每一对中的质数之差,即p和q的距离不超过七千万”。
令人遗憾的是,尽管人类早在2500多年前就发现了质数,但时至今日仍未能完全揭开笼罩在质数上的神秘面纱。欧拉曾感叹:“世界上有许多人类智慧无法解释的奥秘,看一眼质数表就会发现,它是如此毫无秩序,毫无规则可言。”

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