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20世纪数学界重要的两个人:希尔伯特和艾米诺特
发布日期:2020-12-22
20世纪数学界有两个人是无法忽略的,他们对20世纪以来的数学起到了引领性作用,一个是“数学之王”希尔伯特,希尔伯特最伟大的成就是培育了一大批数学家,可以说撑起了20世纪数学的半边天,他提出的“希尔伯特”方案至今仍对数学研究的方向起到引领作用。
 
而另外一位就是德国犹太数学家艾米诺特(EmmyNoether),被称为数学史上最重要的女性,抽象代数的奠基人。她在微分不等式,环和理想子群等的研究方面做出了杰出贡献,在物理学中,诺特定理解释了对称性和守恒定律之间的联系。她对抽象代数的开创性研究影响了整个二十世纪代数学甚至整个数学的面貌。她终身未婚、无子,而是专注于科学,为数学和物理学留下了重要的遗产。
数学界的雅典娜
 
爱因斯坦曾这样评价诺特:“她是从女性接受高等教育后出现的最富创造力的数学天才”诺特出生于法兰克尼亚小镇埃尔兰根的一个犹太家庭,父亲马克斯·诺特(MaxNoether)是德国一个批发商家庭的后裔,14岁那年因脊髓灰质炎而瘫痪。后来他恢复了活动能力,但留下了行走不便的后遗症。马克斯靠自学获得了海德堡大学(UniversityofHeidelberg)的博士学位,最终成为埃尔兰根大学著名的代数几何学家,他是19世纪代数几何学的学术带头人之一,在代数簇方面深入研究了属于双有理变换的代数簇的不变性质。他还建立了关于二次变换的重要定理,例如,他得出:任何奇点的不可约平面代数曲线可经过有限步标准二次变换成为重点是‘普通点"的曲线(即曲线在这些点相重但有相异的切线)。他最著名的成果还有brill–noether理论和留数定理。
 
马克斯·诺特很注重对孩子的教育,孩子们也遗传了父亲的数学天赋。埃米·诺特打小就是个很受欢迎的女孩,会弹钢琴会跳舞,高中时她花了很多时间学习德语,英语,法语,最终于1900年成为巴伐利亚女子学校的英语和法语的认证老师。但最终她没有教书,而是决定要在父亲任教的埃尔兰根大学学习数学,她弟弟也在那里学习数学。她申请了那所大学,但她的申请被拒绝了!这倒不是因为她不够格,因为她是女性,当时德国不允许女性进入大学学习,德国的大学只允许女性在征得教师同意的情况下参加旁听,当然还得缴纳听课费,而如果想要参加考试并取得文凭,则要经过学校领导的特别批准。
经过一番努力,诺特最终获得了在埃尔兰根大学旁听的机会,并于1903年7月14日在纽伦堡的一家体育馆通过了毕业考试。在1903年至1904年的冬季学期中,她在哥廷根大学学习,有幸听到克莱因、希尔伯特、闵科夫斯基的课。不久,埃尔兰根大学取消了对妇女进入学校的限制,1904年10月诺特又回到了埃尔兰根大学专注于数学,成为数学系47名学生中唯一的女生。她通过博士考试,后来在埃尔兰根大学的数学研究所工作了7年,做无偿数学研究工作,偶尔在她父亲病重不能讲课时顶替父亲。
 
 
埃米·诺特的“数学及物理遗产”
 
当时,埃尔兰根的数学家们都在进行代数函数的研究,他们试图将代数函数的理论代数化,将代数函数的理论复杂的解析法和几何直观中解放出来。于此同时,同样在埃尔兰根的哥尔丹却热衷于不变量的研究。
 
诺特的数学研究工作正是在哥尔丹的指导下开始的。戈尔丹是诺特父亲的同事挚友,对诺特早年生活影响很大。诺特博士论文是“三元双二次型不变量的完全系,通篇都是符号演算,随后她又发表了一些不变量方面的论文。1912年戈尔丹去世后,接替他的先是施密特,后是费歇尔。在费歇尔指导下,诺特逐步实现了从戈尔丹的形式观念到希尔伯特研究方式的转变。
1915年,全球著名的数学研究中心哥廷根大学数学系的希尔伯特(DavidHilbert)和克莱因(FelixKlein)邀请诺特加入,他们当时热衷于相对论研究,而诺特在不变式理论方面的实力对他们研究有所帮助。但当时哥廷根大学的数学、语言学、历史学都划在哲学系里,聘请讲授必须经过哲学教授会议批准。希尔伯特的努力遭到教授会议中语言学家和历史学家的极力反对,他们出于对妇女的传统偏见,连聘为“私人讲师”这样的请求也断然拒绝。虽然最终没有成为讲师,但是诺特被允许以希尔伯特的名义授课,1916年,诺特应邀来到哥廷根大学,以希尔伯特的名义讲授不变式论课程。诺特前往哥廷根后她的母亲在埃尔兰根突然去世。大约在同一时间,诺特的父亲退休了,她的弟弟加入了德国军队,参加第一次世界大战。
 
在哥廷根任教的第一年,她没有正式职位,也没有获得报酬;她的家庭负担她的食宿,并支持她的学术。这个没有工资的女数学家,还义务担任《数学年报》的编辑,帮忙审阅数学研究论文,并提出修改意见。诺特不仅分文不取,而且名字也不列在编辑名单中。
诺特与克莱因和希尔伯特合作又做出了很多重要成果,其中包括物理学中广泛应用的诺特定理。而后,她开始研究代数函数,发了一些这方面的文章。而实际上,此时诺特已经从中体会到群、域、模这些抽概念的妙用,可以说这段时间的工作是为她之后的抽象代数研究做好了准备。从1913年到1916年,诺特发表了几篇论文,将希尔伯特方法扩展并应用于有理函数域、有限群不变量等数学对象。这个阶段标志着她开始接触抽象代数。
1921年,诺特发表“整环的理想理论把分解定理从一般代数数域扩展到一般上。这是一项非常了不起的数学创造,它标志着抽象代数学真正成为一门数学分支。诺特也因此获得了极大声誉,被誉为“现代数学代数化的伟大先行者”。1922年,922年哥廷根大学的自然科学与数学部门向教育当局申请诺特的升职文件中说“诺特无疑是一位很出色的数学家,不适合当私讲师教大班学生的一般课程她有能力影响一批优秀学生。终于在当年4月诺特收到普鲁士(地方)科学部长发给她“非文官副教授”的证书也就是说,她虽然升任副教授,但一样不支薪。到了1923年,库朗出任哥廷根大学的主任时才替诺特争取到“委任教学”的名义,她这才领到少许薪水,而且这个“委任教学”每年还得复审。直到1933年离开到美国,诺特都没有被视为正式教授,付给她的薪水也少得可怜,连简单的生存都有问题。
 
1927年,诺特发表了文章“代数数函数域上理想论的抽象结构”(在这篇文章中,她给出了环中理想可以1932年,诺特在苏黎世国际数学家大会作了一小时报告。在报告中,她运用抽象的代数方法解决了一些数学家们过去的方法没能解决的问题,她的代数才能得到了全世界的认可,获得数学界的普遍赞扬,诺特的科学声誉达到顶峰。
 
直到1933年,诺特一直是哥廷根数学系的主要成员。那年德国纳粹政府在报纸上发表通告,哥廷根大学的6名犹太教授被勒令离开,诺特是其中之一。她的教书许可,被政府部门收回。然而,在她的寓所里,她的学生还是前来找他们的老师诺特请教和讨论问题,直至这年9月诺特移居美国,成为布林莫尔学院(BrynMawrCollege)的数学客座教授,并在新泽西州普林斯顿的高级研究所讲学并进行研究。1935年,她接受了卵巢囊肿手术,尽管有恢复的迹象,但四天后去世,享年53岁。
 
 
 
诺特数学研究成果的影响力
 
埃米·诺特一生致力于代数研究,她的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要的影响,数学界称她为“代数女皇”。她完全重写了许多关于数学的概念,在如今的数学文献中,都可以见到“诺特环”、“诺特群”和“诺特模”等等重要的数学概念。埃米·诺特不仅仅是现代数学的奠基者,也是物理学中的革命家。她给出的诺特定理把两个物理学的支柱概念——“对称性”和“普遍守恒定律”联系在一起。很多学物理的人都学过这个定理。但是有很多人不知道诺特是一个犹太女数学家。
诺特定理宣称,每一个对称性都有一个相关的守恒定律,反之亦然。这是理论物理的中心结果之一,它连接了两个物理学中非常重要的概念——守恒定律和自然界中的对称性。在此基础上孕育出了线性能量守恒和能量守恒等基本定律。
 
在20世纪初,爱因斯坦正是借助诺特定理,才最终完善了广义相对论。到了20世纪下半叶,诺特定理又成为了构建粒子物理学标准模型的基础。标准模型精确描述了微观的粒子世界,并且预言了希格斯玻色子的存在。诺特定理引领物理学100年发展,是现代物理学的基石。
 
 
总结
 
在当代,物理学家们在开创新的物理理论时,仍然必须依赖于诺特定理。而在天文物理中,月球的一个陨石以及太阳系小行星带中的一颗小行星也以埃米·诺特的名字命名。20世纪70年代以来,数学界出现了一股"诺特热":出版了她的传记,纽约州立大学(Buffalo)设立了以诺特命名的研究席位。
 
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